勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一。勾股定理是人类发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的较重要的工具之一，也是的纽带之一。在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，较早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和在的《几何体以前》一文中给予勾股定理的以内事实证明。设△ABC为一直都在角三角形，这当中A为斜角。从A点划一维持至对边，使其维持于对边。增长此线把对边进行上的正长方形体形1分为二，其体积分为与剩余俩个正长方形体形成正比。

在这个定理的证明中，千亿国际需要如下四个辅助定理：

如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS）

三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。

任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。

证明的思路为：从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，把上方的两个正方形，通过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。

设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。

其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。

分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。

∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

因为AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

因为A与K和L在同一直线上，所以四边形BDLK=2△ABD。

因为C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF=2△FBC。

因此四边形BDLK=BAGF=AB2。

同理可证，四边形CKLE=ACIH=AC2。

把这两个结果相加，AB2+AC2=BD×BK+KL×KC

由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由于CBDE是个正方形，因此AB2+AC2=BC2，即a2+b2=c2。

此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的。

由于这个定理的证明依赖于平行公理，而且从这个定理可以推出平行公理，很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件，一直到十九世纪尝试否定第五公理的出现。

任意一组勾股数可以表示为如下形式：，，，其中均为正整数，且。

定理使用用途

已知直角三角形两边求解第三边，或者已知三角形的三边长度，证明该三角形为直角三角形或用来证明该三角形内两边垂直。利用勾股定理求线段长度这是勾股定理的较基本运用。[4]对《》内的勾股定理作出了详细注释，记录于《九章算术》中“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。后刘徽在刘徽注中亦证明了勾股定理。[2]提出了二十多种对于勾股定理证法。[5]。美国图书馆内收藏着一块编号为“普林顿322”的泥板，上面就记载了很多勾股数。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，也应用过勾股定理。[6-7]证明了勾股定理，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。[8]数学家在《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个证明。[9]在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的一个证法。

1940年《毕达哥拉斯命题》出版，收集了367种不同的证法。